統計検定3級　④ 2変数データの分析と回帰直線

2つの変数の関係を散布図・相関・回帰直線でとらえる分野で、収録問題数が最も多い山場です。相関係数の意味と範囲、正負の相関、最小二乗法による回帰直線 y=a+bx の推定、傾きと相関係数の関係、決定係数、外挿の注意点が頻出です。相関関係と因果関係の混同や見かけの相関にも触れられます。計算問題が出やすい分野なので、相関係数と回帰直線の性質を公式とセットで理解し、散布図から関係を読み取る練習を重ねましょう。

この分野の問題40問を、選択肢・正解・解説つきで掲載しています。まず自分で解答を考えてから「正解と解説を見る」を開いて答え合わせをしてください。

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第111問2つの変数xとyについて、xを説明変数、yを目的変数として直線 y = a + bx により予測を行う分析方法を何と呼ぶか。

A相関係数分析
B因果関係分析
C回帰分析
D最小二乗分析

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正解：C．回帰分析

xの値からyの値を直線で予測・説明する分析を回帰分析と呼びます。

統計検定3級 ④ 2変数データの分析と回帰直線

第111問2つの変数xとyについて、xを説明変数、yを目的変数として直線 y = a + bx により予測を行う分析方法を何と呼ぶか。

第112問回帰直線の式 y = a + bx において、a と b は一般に何と呼ばれるか。

第113問回帰直線の回帰係数を推定する方法として、すべての観測値の残差平方和を最小にするアプローチを何というか。

第114問回帰係数の推定値において、直線の傾き（bの推定値）は、相関係数にどのような比率を掛けたものとして表されるか。

第115問回帰直線を用いて予測を行う際、与えられたデータが存在する範囲から大きく離れている値xに対して予測値を求めることを何というか。

第116問求められた回帰直線の説明力（当てはまりのよさ）を測る指標として定義される係数を何というか。

第117問完全にデータが回帰直線上にあり、すべての観測点が当てはまった場合、決定係数 R^2 の値はいくつになるか。

第118問決定係数 R^2 がとり得る値の範囲として、正しいものはどれか。

第119問単回帰と呼ばれる説明変数が1つだけの回帰分析において、決定係数と相関係数 r の間に成り立つ関係式はどれか。

第120問説明変数が2つ以上ある回帰分析（重回帰）において、観測値と予測値の間の相関係数を何と呼ぶか。

第121問相関係数が測る対象として、最も適切なものはどれか。

第122問散布図において、一方の変数の値が増えたときに、他方の変数の値も増える傾向にあるとき、どのような相関関係があるというか。

第123問1つの散布図にグループごとにマークや配色を変えて、複数のグループを同時に描き分けた散布図を何と呼ぶか。

第124問2変数の共分散 sxy の定義において、平均値を中心に左右上下にまんべんなく観測値が散らばっている場合、共分散の値はどうなるか。

第125問相関係数の長所として、共分散の短所を修正した特徴として最も適切なものはどれか。

第126問相関係数 r がとり得る値の範囲として、正しいものはどれか。

第127問2つの変数xとyにおいて、すべての観測値が負の傾きをもつ直線上に完全に並んでいるとき、相関係数 r の値はいくらになるか。

第128問2変数xとyの両方に影響を与える第3の変数が存在するために、xとyの間に相関関係がみられる現象を何というか。

第129問おもりの重さとバネの長さについて回帰直線 y = 101.5 + 5.5x が得られているとき、おもりの重さが30gのときのバネの長さの予測値を求めると何mmになるか。

第130問おもりの重さとバネの長さについて、おもりの重さが30gのときの実際の観測値が272mm、予測値が266.5mmであるとき、この観測値に対する残差は何mmか。

第131問1日あたりの平均勉強時間xと期末テストの点数yの回帰直線 y = 10 + 25x（0≦x≦3.6）、決定係数0.1が得られたとき、正しい解釈はどれか。

第132問最高気温xで売上数yを説明する回帰直線 y = 3.73 + 2.33x が得られているとき、最高気温が1℃上がると売上数は平均的にどのくらい増えると言えるか。

第133問最高気温xと売上数yの回帰直線 y = 3.73 + 2.33x について、最高気温が25℃のときの商品Aの売上数の予測値として最も適切なものはどれか。

第134問説明変数x、被説明変数yについて、x̄ = 230、ȳ = 340、傾き b = 8.0 が得られているとき、回帰直線 y = a + bx の切片aの値を求めよ。

第135問総平方和 ST、回帰による平方和 SR、残差平方和 Se の間には ST = SR + Se という分解が成り立つ。決定係数 R^2 の定義式として正しいものはどれか。

第136問ゴルトンの研究において、親の身長（説明変数）から子の身長（目的変数）を予測する回帰直線の傾きについて、正しい記述はどれか。

第137問2つの変数xとyの相関係数を求めたところ r = 0.60 であった。xとyの役割を入れ替えて、yを横軸、xを縦軸にして相関係数を求めた場合、その値はどうなるか。

第138問2つの変数の一方を説明変数、他方を被説明変数（目的変数）として回帰分析を行う際、変数xとyの役割を逆にして回帰直線を求めた場合、回帰係数（傾きや切片）はどうなるか。

第139問身長のデータをセンチメートル（cm）で測定して求めた回帰直線と、メートル（m）に単位を変換して求めた回帰直線における「回帰係数」の変化について、正しい記述はどれか。

第142問左右対称な2次曲線（放物線）の形に完全に並んでいるデータについて相関係数を求めたとき、その値はどうなるか。

第143問魚Aの摂取量と血中のある成分の量の調査において、相関係数が0.94であったことから導く結論として、統計学的に「適切でないもの」はどれか。

第144問2つの変数AとBの観測値について、(1)横軸A・縦軸B、(2)横軸B・縦軸A、(3)横軸 100×A・縦軸 100×B の3つの散布図を作成したとき、相関係数が最も大きいものはどれか。

第145問2つの変数xとyの相関係数が0.67であった。このとき、xのすべての値に0.02ずつ加え、続いてyのすべての値を0.3倍にした。この操作を行った後の相関係数の値はどうなるか。

第146問都道府県別の「一般病院年間入院患者数」と「一般病院数」の間に強い相関（r = 0.95）が見られた際、第3の変数として影響を与えていたものは何か。

第147問回帰直線 y = a + bx を用いて予測を行う際の注意点として、避けるべきとされている行為はどれか。

第148問データの中に他の観測値から大きく離れた「外れ値」が含まれている場合、相関係数や回帰直線を算出・解釈する際の注意点として最も適切なものはどれか。

第149問学校保健統計調査のむし歯のデータ（層別散布図）において、男女全体でデータを見たときと、男女別にグループを分けたときの傾向の違いについて、正しい記述はどれか。

第150問飛距離Dから得点Xを X = 1.80 × (D - 125.0) + 60.0 という直線的な式で算出するとき、Xとある変数Yの相関係数は、DとYの相関係数の何倍になるか。

統計検定3級　④ 2変数データの分析と回帰直線