統計検定2級　⑤ 正規分布と標本分布

統計的推測の中核となる正規分布と標本分布を学ぶ分野です。正規分布の形を決める平均と分散、±1・±2・±3標準偏差の範囲に入る割合（約68%・95%・99.7%）、標準正規分布や正規分布の再生性・線形変換の性質が頻出です。歪度・尖度による分布の特徴づけも扱います。後半では母集団と標本の関係、標本平均の期待値が母平均に一致すること、標準誤差、そして中心極限定理を学び、χ²分布・t分布・F分布といった標本分布へと広がります。ここは推定・検定に直結する重要分野なので、確率の面積計算に慣れておきましょう。

この分野の問題42問を、選択肢・正解・解説つきで掲載しています。まず自分で解答を考えてから「正解と解説を見る」を開いて答え合わせをしてください。

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第161問正規分布の確率密度関数の形状を決定する2つの要素として正しいものはどれか。

A平均と分散
B平均と中央値
C中央値と最頻値
D分散と標準偏差

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正解：A．平均と分散

正規分布は平均と分散によってその形が決まります。

統計検定2級 ⑤ 正規分布と標本分布

第161問正規分布の確率密度関数の形状を決定する2つの要素として正しいものはどれか。

第162問正規分布のグラフにおいて、分散が小さくなるとグラフの形状はどのように変化するか。

第163問正規分布において、平均からプラスマイナス1標準偏差の範囲に含まれるデータの割合はおよそ何パーセントか。

第164問正規分布において、平均からプラスマイナス2標準偏差の範囲に含まれるデータの割合はおよそ何パーセントか。

第165問正規分布において、平均からプラスマイナス3標準偏差の範囲に含まれるデータの割合はおよそ何パーセントか。

第166問確率変数Xが正規分布に従うとき、その1次関数であるaX+bはどのような分布に従うか。

第167問互いに独立な確率変数XとYがそれぞれ正規分布に従うとき、その和であるX+Yも正規分布に従うという性質を何というか。

第168問平均が0、分散が1である正規分布のことを何と呼ぶか。

第169問分布のゆがみ（非対称性）を数値で表した指標を何というか。

第170問分布のとがり具合や裾の長さを数値で表した指標を何というか。

第171問調査対象となるデータの全体、およびそこから取り出した一部のデータの組み合わせとして正しいものはどれか。

第172問標本平均の期待値（平均）と母平均の関係について正しい記述はどれか。

第173問標本の大きさをn、母分散をσの2乗とするとき、標本平均の分散を表す式はどれか。

第174問互いに独立に標準正規分布に従うn個の確率変数の2乗和が従う確率分布を何というか。

第175問カイ二乗分布において、その2乗和の個数のことを何と呼ぶか。

第176問標準正規分布に従う確率変数Zと、自由度mのカイ二乗分布に従う確率変数Wが独立であるとき、Z / ルート(W / m) が従う分布はどれか。

第177問自由度mのt分布のグラフの形状について、標準正規分布と比較した特徴として正しいものはどれか。

第178問2つの独立なカイ二乗分布W1（自由度m1）とW2（自由度m2）があるとき、(W1 / m1) / (W2 / m2) が従う分布はどれか。

第179問標本平均は、標本の大きさ（サンプルサイズ）を大きくしていくと母平均に限りなく近づくという法則を何というか。

第180問標本平均の分布は、標本の大きさが十分に大きければ、母集団の分布の形にかかわらず正規分布に近似するという定理を何というか。

第181問1万人が受験した全国統一テストの偏差値（平均50、標準偏差10）が正規分布に従うとき、偏差値60以上の受験者は推定で約何人か（±1標準偏差の面積を68.26%とする）。

第182問ある予備校の模試（平均55点、標準偏差12点）の点数が正規分布に従うとき、ある受験者の点数が70点であった。この点数を標準化した値（Z値）として正しいものはどれか。

第183問800人が受験したテスト（平均60点、標準偏差10点）が正規分布に従うとき、70点以上80点以下の受験者は約何人か（標準正規分布の上側確率をP(Z≧1.0)=0.1587、P(Z≧2.0)=0.0228とする）。

第184問サイコロを300回振ったとき、1の目が出る回数は二項分布B(300, 1/6)に従う。この分布をラプラスの定理により正規分布に近似するとき、その正規分布の平均（期待値）と分散の組み合わせとして正しいものはどれか。

第185問あるクラスの数学のテストにおいて、平均点が73点、中央値が60点であった。この点数分布の歪度と裾の長さの特徴として適切なものはどれか。

第186問受験者全体（平均60点、標準偏差10点）の正規分布から無作為に5人を選んだとき、5人の点数の平均が65点以上である確率を求めるため、標本平均の分布を標準化したZ値として最も近いものはどれか。

第187問標本の大きさをn、母分散をσの2乗とするとき、標本分散Sの2乗の期待値E[Sの2乗]を表す式として正しいものはどれか。

第188問標本分散Sの2乗から、期待値が母分散σの2乗に一致する「不偏分散Uの2乗」を求めるための正しい計算式はどれか。

第189問確率変数Wが自由度3のカイ二乗分布に従うとき、W≦wとなる下側確率が0.025となる点wを求めたい。付表の「上側確率のパーセント点」からこの値を読み取る際、対応する上側確率αの値はいくらになるか。

第190問自由度(15, 20)のF分布に従う確率変数の下側2.5パーセント点を求めたい。自由度(20, 15)の上側2.5パーセント点の値が2.756であるとき、求める下側2.5パーセント点の値はいくらか。

第191問生徒36人の期末テストで平均55点、標準偏差10点であった。チェビシェフの不等式を用いて、40点以上70点以下の生徒は「最小で何人」と確実に言えるか。

第192問数学の得点Xが正規分布N(58, 12の2乗)、国語の得点Yが正規分布N(71, 9の2乗)に独立に従うとき、合計得点X+Yが従う正規分布の平均と分散の組み合わせとして正しいものはどれか。

第193問確率変数W1とW2がそれぞれ独立に自由度m1、m2のカイ二乗分布に従うとき、その和であるW1+W2はどのような分布に従うか。

第194問ある大学の入試結果が平均64.2、標準偏差17.66の正規分布に従うとき、無作為に16人を抽出した。この16人の得点の「標本平均」の期待値と標準偏差の組み合わせとして正しいものはどれか。

第195問小学生の1日のエネルギー摂取量について、母集団の変動係数が0.6である。標本平均（推定量）の変動係数を0.05以下に抑えるために必要な最小の調査人数（標本の大きさn）はいくらか。

第196問確率変数Z1, Z2, Z3, Z4が互いに独立に標準正規分布に従うとき、W = Z1^2 + Z2^2 + Z3^2 + Z4^2 とおくと、Wはどのような分布に従うか。

第197問左右対称の正規分布のグラフにおいて、平均値から離れた山の裾野（両端）の挙動について正しい記述はどれか。

第198問標本分散と不偏分散の不偏性に関する記述のうち、正しいものはどれか。

第199問カイ二乗分布に従う確率変数Wの値の範囲について、正しい記述はどれか。

第200問自由度mのt分布が、自由度mを限りなく大きくしていったときに近づく確率分布はどれか。

第201問自由度(m1, m2)のF分布の上側5パーセント点をpとするとき、自由度(m2, m1)のF分布において値1/pが表す点として正しいものはどれか。

第202問次の記述のうち、歪度または尖度の説明として「誤っているもの」はどれか。

統計検定2級　⑤ 正規分布と標本分布