統計検定2級　④ 確率変数と確率分布

正解：A．すべての値で1/6

サイコロの各目が出る確率は等しく1/6です。

正解：A．1

確率変数の確率の合計は必ず1になります。

正解：C．大数の法則

試行回数を増やすと観測値が理論的な確率に近づく現象は大数の法則です。

正解：B．確率変数と確率の積の合計

期待値は一般に確率変数と確率の積の合計で求めます。

正解：B．偏差の2乗の平均

分散は「偏差の2乗の平均」として定義されます。

正解：A．常に成り立つ

「2乗の期待値引く期待値の2乗」は分散を求める際によく使う公式です。

正解：D．aE[X]+b

期待値の線形性により、定数倍と加算がそのまま適用されます。

正解：C．a^2V[X]

分散は定数倍の2乗が掛かり、加算定数は影響しません。

正解：D．E[X]+E[Y]

和の期待値は、それぞれの期待値の和に等しくなります。

正解：B．V[X]+V[Y]+2Cov[X,Y]

共分散の2倍を加える必要があります。

正解：D．0

独立な確率変数同士の共分散は0となります。

正解：C．V[X]+V[Y]

独立のときは共分散が0になるため、分散の和になります。

正解：B．Cov[X,Y] / (sqrt(V[X])sqrt(V[Y]))

共分散をそれぞれの標準偏差で割ることで求めます。

正解：B．ベルヌーイ試行

成功か失敗の2種類の結果しかない試行の繰り返しはベルヌーイ試行といいます。

正解：B．np

二項分布の期待値は試行回数nと成功確率pの積です。

正解：B．np(1-p)

二項分布の分散はnp(1-p)で求められます。

正解：C．ポアソン分布

ある期間内に発生する回数はポアソン分布で表されます。

正解：D．E[X] = V[X]

ポアソン分布では期待値と分散は等しくλとなります。

正解：C．幾何分布

成功するまでの試行回数の分布は幾何分布です。

正解：A．1/p

幾何分布の期待値は成功確率の逆数です。

正解：C．0

連続型では1点における確率は定義上0になります。

正解：A．1

確率密度関数が囲む面積の合計（全確率）は1です。

正解：A．f(x)のaからbまでの定積分

区間内の確率は確率密度関数の定積分で求めます。

正解：A．一定である

一様分布ではどの値も同じ起こりやすさをもっています。

正解：D．F(x)はf(x)の原始関数

分布関数は確率密度関数の原始関数（積分したもの）です。

正解：D．9

E[2X+3]=2E[X]+3=2*3+3=9です。

正解：A．8

V[2X+3]=2^2*V[X]=4*2=8です。

正解：C．2/3

E[X]=np=4*(1/6)=4/6=2/3です。

正解：D．5/9

V[X]=np(1-p)=4*(1/6)*(5/6)=20/36=5/9です。

正解：D．3

E[X]=np=9*(1/3)=3です。

正解：D．3

ポアソン分布の分散は期待値と同じλになります。

正解：B．2

E[X]=1/p=1/0.5=2です。

正解：D．1

E[X]=∫x*(1/2)dx (0から2まで) = [1/4*x^2] (0から2まで) = 1です。

正解：B．1/3

V[X]=∫x^2*(1/2)dx - 1^2 = [1/6*x^3] (0から2まで) - 1 = 4/3 - 1 = 1/3です。

正解：B．0.6

r=Cov/sqrt(V[X]*V[Y])=1.2/sqrt(4*1)=1.2/2=0.6です。

正解：A．ポアソン分布

二項分布はnが大きくpが小さいときポアソン分布に近づきます。

正解：A．0.5

中央値は累積確率（分布関数）が0.5となるときの値です。

正解：C．P(A)+P(B)

排反事象ではP(A∩B)=0のため、和は単なる合計となります。

正解：C．結果は常に一致する

両者は数学的に等価であり、用途に応じて使い分けます。

正解：C．pと1-p

成功確率がpなら、失敗確率はその余事象の1-pです。