統計検定3級　⑥ 確率変数と確率分布

確率変数と確率分布を扱う分野です。離散型・連続型確率変数、確率の合計が1になる性質、確率変数の期待値（平均）・分散・標準偏差の定義、二項分布や一様分布、正規分布の基本的な性質が頻出です。確率変数を定数倍・平行移動したときの平均と分散の変化も問われます。3級では複雑な計算より、期待値・分散の定義と正規分布の対称性などの基本的性質を正しく理解しているかが問われるため、公式の意味を押さえて演習しましょう。

この分野の問題36問を、選択肢・正解・解説つきで掲載しています。まず自分で解答を考えてから「正解と解説を見る」を開いて答え合わせをしてください。

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第187問確率変数の取り得る値が離散的（とびとび）である確率変数を何と呼ぶか。

  1. A離散型確率変数
  2. B連続型確率変数
  3. C離散型一様変数
  4. D連続型一様変数
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正解：A．離散型確率変数

取り得る値が離散的である確率変数は離散型確率変数と定義されます。

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第188問離散型確率変数において、取り得るすべての値の確率を足し合わせると合計はいくつになるか。

  1. A1
  2. B0
  3. C0.5
  4. D10
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正解：A．1

確率変数Xが取り得るすべての値の確率をすべて加えると1になります。

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第189問ゆがみのないサイコロを投げるとき、どの目も同じ確率1/6で出現する確率分布を何というか。

  1. A二項分布
  2. B離散型一様分布
  3. C正規分布
  4. D連続型一様分布
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正解：B．離散型一様分布

どの目も同じ確率で出現することから離散型一様分布に従うといいます。

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第190問確率変数の取り得る値が連続的な実数値である確率変数を何と呼ぶか。

  1. A連続型確率変数
  2. B離散型確率変数
  3. C連続型一様変数
  4. D標準型確率変数
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正解：A．連続型確率変数

変数の取り得る値が連続的な値である確率変数を連続型確率変数と呼びます。

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第191問統計検定3級において、連続型確率変数が特定の区間に入る確率を考える際に必須ではない知識はどれか。

  1. A足し算
  2. B掛け算
  3. C引き算
  4. D積分の計算
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正解：D．積分の計算

統計検定3級では積分の計算により値を求めることはありません。

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第192問確率変数Xの平均E(X)のもう一つの呼び方はどれか。

  1. A分散
  2. B標準偏差
  3. C偏差の2乗
  4. D期待値
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正解：D．期待値

確率変数の平均E(X)はXの期待値とも呼ばれます。

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第193問確率変数Xの平均をμとするとき、分散V(X)の定義式として正しいものはどれか

  1. AE((X-μ))
  2. BE((X-μ)^2)
  3. CE(X-μ)
  4. DE(X^2)
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正解：B．E((X-μ)^2)

分散V(X)は平均からの偏差の2乗の平均としてE((X-μ)^2)と定義されます。

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第194問確率変数の標準偏差σ(X)は、分散V(X)とどのような関係にあるか。

  1. A分散の2乗
  2. B分散の2倍
  3. C分散の正の平方根
  4. D分散の逆数
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正解：C．分散の正の平方根

標準偏差は分散の正の平方根として定義されます。

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第195問確率変数Xの分散V(X)を、E(X^2)とE(X)を使って表す式として正しいものはどれか。

  1. A{E(X^2)}^2 - E(X)
  2. BE(X^2) - {E(X)}^2
  3. CE(X^2) + {E(X)}^2
  4. DE(X) - E(X^2)
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正解：B．E(X^2) - {E(X)}^2

分散はV(X) = E(X^2) - {E(X)}^2 の式を用いて求めることができます。

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第196問結果が2種類（成功と失敗）の試行において、成功（X=1）の確率をpとするとき、失敗（X=0）の確率はどのように表されるか。

  1. Ap
  2. Bp^2
  3. C1-p
  4. D1/p
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正解：C．1-p

成功の確率がpのとき、失敗の確率は1-pとなります。

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第197問二項分布の確率関数P(X=x)を表す式として正しいものはどれか。

  1. AnCx * p^x * (1-p)^(n-x)
  2. BnCx * p^(n-x) * (1-p)^x
  3. Cp^x * (1-p)^(n-x)
  4. DnCx * p^x * (1-p)^x
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正解：A．nCx * p^x * (1-p)^(n-x)

二項分布の確率関数は nCx * p^x * (1-p)^(n-x) で与えられます。

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第198問二項分布の形状を決める2つの要素は何か。

  1. A期待値と分散
  2. B標準偏差と平均
  3. C階級幅とヒストグラム
  4. D試行回数nと成功確率p
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正解：D．試行回数nと成功確率p

二項分布は成功確率pと反復試行回数nによって形状が決まります。

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第199問二項分布B(n, p)に従う確率変数Xの平均μを表す式はどれか。

  1. Anp(1-p)
  2. Bnp
  3. Csqrt(np)
  4. Dn(1-p)
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正解：B．np

二項分布に従う確率変数の平均μは np となります。

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第200問二項分布B(n, p)に従う確率変数Xの分散を表す式はどれか。

  1. Anp
  2. Bsqrt(np(1-p))
  3. Cn(1-p)
  4. Dnp(1-p)
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正解：D．np(1-p)

二項分布に従う確率変数の分散は np(1-p) となります。

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第201問正規分布N(μ, σ^2)の確率密度関数のグラフ（ベルカーブ）の最大値はどこでとるか。

  1. Ax = 0
  2. Bx = σ
  3. Cx = μ - σ
  4. Dx = μ
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正解：D．x = μ

正規分布はx=μで最大値をとり、平均に関して左右対称な山型となります。

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第202問標準正規分布とは、どのような平均と分散をもつ正規分布のことか。

  1. A平均1・分散0
  2. B平均0・分散1
  3. C平均0・標準偏差0
  4. D平均1・標準偏差1
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正解：B．平均0・分散1

平均0、分散1の正規分布N(0,1)を標準正規分布といいます。

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第203問確率変数Xから平均を引いて標準偏差で割る操作を何というか。

  1. A一様化
  2. B近似化
  3. C標準化
  4. D分散化
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正解：C．標準化

確率変数Xから平均を引き、標準偏差で割る操作を標準化と呼びます。

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第204問正規分布において、平均から標準偏差の1倍の範囲（μ-σ, μ+σ）にデータが入る確率は約何%か。

  1. A約50%
  2. B約95%
  3. C約68%
  4. D約99.7%
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正解：C．約68%

平均から±1σの範囲に入る確率は約68%（約2/3）です。

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第205問ゆがみのないコインを投げ、表が出るときX=1、裏が出るときX=0とする。このときP(X=1)の確率はいくらか。

  1. A1/2
  2. B0
  3. C1/3
  4. D1
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正解：A．1/2

ゆがみのないコイン投げにおいて、表と裏が出る確率はそれぞれ1/2ずつです。

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第206問10本中、1等600円が1本、2等200円が3本、3等100円が6本のくじがある。このくじを1本引くときの賞金額の平均（期待値）はいくらか。

  1. A150円
  2. B200円
  3. C250円
  4. D180円
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正解：D．180円

平均は (600*1 + 200*3 + 100*6)/10 = 180円 となります。

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第207問ゆがみのないサイコロを投げて出る目をXとするとき、確率変数Xの平均E(X)はいくらか。

  1. A3
  2. B4
  3. C4.5
  4. D3.5
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正解：D．3.5

サイコロの目の平均は (1+2+3+4+5+6)/6 = 21/6 = 7/2（3.5）です。

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第208問ゆがみのないサイコロの出る目Xの平均が7/2、E(X^2)が91/6であるとき、分散V(X)の値として正しいものはどれか。

  1. A70/12
  2. B35/12
  3. C91/6
  4. D49/4
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正解：B．35/12

分散は V(X) = E(X^2) - {E(X)}^2 = 91/6 - (7/2)^2 = 91/6 - 49/4 = 35/12 です。

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第209問ゆがみのないサイコロの出る目をXとする。確率変数 10X + 5 の平均として正しい値はどれか。

  1. A35
  2. B45
  3. C40
  4. D50
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正解：C．40

E(10X+5) = 10*E(X) + 5 = 10*(7/2) + 5 = 35 + 5 = 40 となります。

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第210問賞金額Xの平均E(X)が180円であるとき、新たな賞金額を 0.5X + 100 とした。このときの新しい平均はいくらか。

  1. A100円
  2. B190円
  3. C140円
  4. D200円
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正解：B．190円

E(0.5X+100) = 0.5*E(X) + 100 = 0.5*180 + 100 = 190円 となります。

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第211問確率変数Xの平均が15、分散が9であるとき、確率変数 Y = 10X + 20 の平均と分散の組み合わせとして正しいものはどれか。

  1. A平均=150・分散=9
  2. B平均=150・分散=81
  3. C平均=170・分散=100
  4. D平均=170・分散=900
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正解：D．平均=170・分散=900

E(Y)=10*15+20=170、V(Y)=10^2 * V(X) = 100 * 9 = 900 となります。

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第212問確率変数Xが二項分布B(10, 0.4)に従うとき、Xの標準偏差として最も近い数値はどれか。

  1. A2.40
  2. B4.00
  3. C1.55
  4. D0.40
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正解：C．1.55

分散は 10 * 0.4 * 0.6 = 2.4、標準偏差はその平方根で約1.55となります。

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第213問確率変数Xが二項分布B(5, 0.2)に従うとき、P(X=3)の確率として正しい値はどれか。

  1. A0.0102
  2. B0.1024
  3. C0.0512
  4. D0.2048
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正解：C．0.0512

P(X=3) = 5C3 * (0.2)^3 * (0.8)^2 = 10 * 0.008 * 0.64 = 0.0512 です。

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第214問確率変数Xが正規分布N(50, 10^2)に従うとき、Xが65以上となる確率P(X≧65)を標準化して表した式はどれか。

  1. AP(Z≧1.0)
  2. BP(Z≧1.5)
  3. CP(Z≧2.0)
  4. DP(Z≧0.65)
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正解：B．P(Z≧1.5)

標準化すると Z = (65 - 50) / 10 = 1.5 となるため、P(Z≧1.5) となります。

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第215問標準正規分布の上側確率において、P(Z≧1.96) = 0.0250 であるとき、P(Z≦1.96)の確率として正しいものはどれか。

  1. A0.9750
  2. B0.0250
  3. C0.5000
  4. D0.9500
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正解：A．0.9750

全体の面積1から上側確率を引くため、1 - 0.0250 = 0.9750 となります。

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第216問確率変数Xが二項分布B(100, 0.2)に従うとき、これを正規近似した際の平均と分散の組み合わせとして正しいものはどれか。

  1. A平均=20・分散=16
  2. B平均=20・分散=4
  3. C平均=100・分散=16
  4. D平均=100・分散=20
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正解：A．平均=20・分散=16

平均 μ = 100*0.2 = 20、分散 σ^2 = 100*0.2*0.8 = 16 となります。

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第217問「連続型確率変数では、ある特定の値（例えばX=x）をとる確率が0でない値として決まる」という記述は正しいか。

  1. A正しくない。連続型ではある1点をとる確率は0であり、区間に入る確率を考える。
  2. B正しい。離散型と同様に決まる。
  3. C正しい。ただし確率密度関数の値に比例する。
  4. D正しくない。連続型では確率は常に1になる。
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正解：A．正しくない。連続型ではある1点をとる確率は0であり、区間に入る確率を考える。

連続型確率変数では、ある1点の値をとる確率は0であり、ある区間に入る確率を考えます。

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第218問確率変数aX+bの平均について、E(aX+b)を分解した正しい式はどれか。ただしa、bは定数とする。

  1. Aa * E(X) + b
  2. Ba * E(X)
  3. Ca^2 * E(X) + b
  4. DE(X) + b
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正解：A．a * E(X) + b

確率変数の性質として、E(aX+b) = aE(X) + b が成り立ちます。a^2とするのは分散の場合です。

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第219問確率変数aX+bの分散について、V(aX+b)を表す正しい式はどれか。ただしa、bは定数とする。

  1. Aa * V(X)
  2. Ba^2 * V(X)
  3. Ca * V(X) + b
  4. Da^2 * V(X) + b
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正解：B．a^2 * V(X)

定数bは分散に影響を与えず、係数aは2乗されて外に出るため、a^2 * V(X) となります。

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第220問標準正規分布の対称性から、P(Z≦-1.96)の確率はどの上側確率と等しくなるか。

  1. AP(Z≧0)
  2. B1 - P(Z≧1.96)
  3. CP(Z≧1.96)
  4. D2 * P(Z≧1.96)
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正解：C．P(Z≧1.96)

正規分布は左右対称なので、P(Z≦-1.96) = P(Z≧1.96) = 0.0250 となります。

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第221問正規分布において、平均から標準偏差の2倍の範囲（μ-2σ, μ+2σ）にデータが入る確率は約何%か。

  1. A約68%
  2. B約90%
  3. C約99.7%
  4. D約95%
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正解：D．約95%

経験則として、±1σの範囲には約68%、±2σの範囲には約95%が入ります。

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第222問二項分布B(n, p)を正規分布で近似（正規近似）することができるのは、どのような条件のときか。

  1. Apが0に極めて近いとき
  2. Bnが小さいとき
  3. Cnが大きいとき
  4. Dpが1に極めて近いとき
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正解：C．nが大きいとき

nが大きいとき、確率変数Xが従う二項分布は正規分布で近似できます。

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