データサイエンス数学ストラテジスト［中級］　③ 式と方程式・関数

正解：A．5

xの指数が2、yの指数が3なので、次数は2+3=5である。

正解：C．x軸とは交わらない

判別式 (-2)^2 - 4×1×3 = 4 - 12 = -8 (負) となるため、x軸とは交わらない。

正解：B．それぞれの方程式で独立した別々の解を持つ。

連立方程式はそれぞれの方程式を同時に満たす共通の解を持つ。

正解：D．(2, -5)

平方完成すると y = 2(x - 2)^2 - 5 となるため、頂点は (2, -5) である。

正解：B．2次関数

最大の次数が2の関数を2次関数という。

正解：A．1次方程式

最大の次数が1である変数を含む等式を1次方程式という。

正解：D．y = 2(x - 2)^2 - 5

2(x^2 - 4x) + 3 = 2(x - 2)^2 - 8 + 3 = 2(x - 2)^2 - 5 となる。

正解：C．x^2の係数が負のとき、グラフは上に開いた形(U字型)になる。

x^2の係数(a)が負のときは、下に開いた形(上に凸)になる。

正解：C．2 × 2 × 3

素数の掛け算で表現するため、2 × 2 × 3 が正しい。

正解：D．1か所

1次関数は直線なので、x軸とは1か所だけで交わる。

正解：A．同じ文字が使われている項の係数を整理する

足し算や引き算では、同じ文字が使われている項の係数を整理する。

正解：B．x = 4

移項して 5x - 2x = 10 + 2 となり、3x = 12 より x = 4 となる。

正解：D．素数

1より大きく、正の約数が1とその数自身のみの自然数を素数という。

正解：B．3(2y - 1) + y = 4

xに 2y - 1 を代入するので 3(2y - 1) + y = 4 となる。

正解：C．因数分解

文字式を掛け算で表現するように分解することを因数分解という。

正解：A．x = 1, -2/3

因数分解すると (x - 1)(3x + 2) = 0 となるため、x = 1, -2/3 である。

正解：A．放物線

2次関数の特徴として、グラフが放物線という曲線になる。

正解：C．x = 3

2つの式を足すと 5x = 15 となり x = 3 が得られる。

正解：B．7ab

abの係数を足し合わせて7abと整理できる。

正解：D．切片

直線がy軸と交差する点のy座標であるbを切片という。

正解：B．x = 3, y = 2

2つの式を足すと 2x = 6 より x = 3。引くと 2y = 4 より y = 2。

正解：A．単項式

項が1つだけの式を単項式という。

正解：D．斜めに掛けて足す

たすき掛けでは、それらを斜めに掛けて足したときにbになる組み合わせを探す。

正解：C．2x

2x^2 と 4x に共通する因数は 2x である。

正解：C．たすき掛け

掛けてaになる数と掛けてcになる数を斜めに掛けて足す組み合わせを探す手法をたすき掛けという。

正解：D．2か所で交わる

判別式が正の場合、実数解を2つ持つためx軸と2か所で交わる。

正解：A．a^(m+n)

指数法則により、a^m × a^n = a^(m+n) となる。

正解：B．項

加算や減算によって分けられたそれぞれの部分を項という。

正解：D．交わらない

判別式が負の場合、実数解を持たないためx軸と交わらない。

正解：B．x(x + 3) = 28

縦がx、横がx+3なので、面積は x(x + 3) = 28 となる。

正解：C．3倍

yの係数をそろえるため、1つ目の式を2倍(6y)、2つ目の式を3倍(-6y)して足し合わせる。

正解：A．x = 3

x^2 - 6x + 9 = 0 を解くと (x-3)^2 = 0 より x = 3。

正解：A．直線

1次関数を平面で考えると直線になる。

正解：C．判別式は b^2 + 4ac で計算される。

判別式は b^2 - 4ac で計算されるため、+ ではない。

正解：B．項の符号を逆にして移動させる

移項とは、符号を変えて左辺から右辺に、あるいは右辺から左辺に移動させることである。

正解：D．4cm

x(x + 3) = 28 を整理し x^2 + 3x - 28 = 0。因数分解で (x-4)(x+7)=0。x>0より4cm。

正解：B．x = -1, 5/2

x+1=0 より x=-1、2x-5=0 より x=5/2 が解となる。

正解：A．頂点

軸と放物線との交点を頂点という。

正解：D．掛けて8、足して6

x^2+bx+c の形では、「掛けてc」「足してb」になる2つの数を探す。

正解：C．(3, 4)

y = a(x - p)^2 + q の頂点は (p, q) なので (3, 4) となる。

正解：C．aは0以外の数

2次方程式において、a,b,cは定数であり、特にaは0以外の数である。

正解：D．-2

y = ax + b において傾きはaであるため、-2が傾きとなる。

正解：A．判別式

実数解の個数を判断するために使われる b^2 - 4ac を判別式と呼ぶ。

正解：B．値が0なら実数解を持たない。

判別式が0のときはちょうど1つの実数解(重解)を持つ。

正解：D．y = 2x + 1

y = 2x + b に x=1, y=3 を代入すると 3 = 2×1 + b となり、b=1。よって y = 2x + 1。

正解：B．x = 1, -3

0 = x^2 + 2x - 3 を因数分解すると (x+3)(x-1) = 0 より x = 1, -3。

正解：C．2x = 12

x - 3x = -2x となるため、2x = 12 は誤りである。

正解：A．右肩下がり

aが負の数であれば、直線は右肩下がりになる。

正解：A．9

9は1と9以外に3で割り切れるため、素数ではない。

正解：C．連立方程式

複数の方程式からなり、共通の解を持つ式を連立方程式という。

正解：B．(-b ± √(b^2 - 4ac)) / 2a

解の公式は x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / 2a である。

正解：D．実数解を持たない

判別式が負の数であれば、方程式は実数解を持たない。

正解：B．15a^3b^4

係数は5×3=15、aの指数は2+1=3、bの指数は1+3=4となる。

正解：A．bが大きいほど直線は下にずれる。

b(切片)が大きいほど直線は上にずれる。

正解：D．分配法則

ある数を他の2つの数の和や差に掛け算したとき、それぞれの数に掛けた後に足すのと同じ結果になる法則を分配法則という。

正解：C．1次関数

xの次数が1の関数を1次関数という。

正解：C．y = 4x + 2

傾きが4(a=4)、切片が2(b=2)なので、y = 4x + 2 となる。

正解：D．x = 2, 3

x^2 - 5x + 6 = 0 を因数分解すると (x-2)(x-3) = 0 より x = 2, 3。

正解：A．y = x - 1

1 = 2a + b と 4 = 5a + b を解くと a=1, b=-1 となり、y = x - 1。

正解：B．移項

符号を変えて辺をまたいで項を移動させる操作を移項という。

正解：D．-√5

a = (3-√5)/2, b = (3+√5)/2 であり、差を取ると -√5 となる。

正解：B．y = (x - 2)^2 - 3

x^2 - 4x + 1 = (x - 2)^2 - 4 + 1 = (x - 2)^2 - 3 となる。

正解：C．2個

判別式の値が正の数であれば、2次方程式は2つの実数解を持つ。

正解：A．x = 2

平方完成すると y = 2(x - 2)^2 - 5 となるため、軸は x = 2 である。

正解：A．a^(mn)

指数法則により、(a^m)^n = a^(mn) となる。

正解：C．代入法

変数の1つを他の変数で表現して他の方程式に入れる方法を代入法という。

正解：B．0個

判別式は 5^2 - 4×1×7 = 25 - 28 = -3 なので、実数解を持たない。

正解：D．(x + 2)(2x + 3)

たすき掛けにより、1×3 + 2×2 = 7 となるため、(x + 2)(2x + 3) となる。

正解：B．3

最も次数が高い項は2x^3であり、その次数が3であるため全体の次数も3となる。

正解：A．2

0 = 3x - 6 を解くと 3x = 6 より x = 2 となる。

正解：D．3と6

xは変数(未知の値)であり、3や6は既知の定数である。

正解：C．下に凸の放物線

aが正の数であれば、放物線は下に凸(U字型)の形になる。

正解：C．変化の割合

傾きは、xの増加量とyの増加量の比であり、変化の割合と呼ばれることもある。

正解：D．交換法則

2つの項の順序を交換しても結果が変わらない法則を交換法則という。

正解：A．2x(x + 2)

共通する因数2xを取り出すと、2x(x + 2) と因数分解できる。

正解：B．0個

判別式の値が負の数であれば、方程式は実数解を持たない。

正解：D．1個

判別式は (-6)^2 - 4×1×9 = 36 - 36 = 0 なので、1つの実数解を持つ。

正解：B．12x^4y^5

係数は6×2=12、xの指数は3+1=4、yの指数は2+3=5となる。

正解：C．(3 ± √5) / 2

解の公式より x = (-(-3) ± √((-3)^2 - 4×1×1)) / (2×1) = (3 ± √5) / 2 となる。

正解：A．-b ± √(b^2 - 4ac)

解の公式の分子は -b ± √(b^2 - 4ac) である。

正解：A．0個

判別式 1^2 - 4×1×1 = -3 (負) となるため、x軸とは交わらない(0個)。

正解：C．x = 1, 3

x^2 - 4x + 3 = 0 を解くと (x-1)(x-3)=0 より x = 1, 3。

正解：B．x = -1, 5/2

(x + 1)(2x - 5) = 0 と因数分解できるため、解は x = -1, 5/2 となる。

正解：D．x = 1

移項して整理すると 4x - 2x = 5 - 3 となり、2x = 2 より x = 1 となる。

正解：B．x = 7

移項して x = 2 + 5 となり、x = 7 となる。

正解：A．1個

判別式の値が0の場合、ちょうど1つの実数解(重解)を持つ。

正解：D．5

y = ax + b において切片はbであるため、5が切片となる。

正解：C．x = -2

移項して整理すると -3x + 6x = 1 - 7 となり、3x = -6 より x = -2 となる。

正解：C．文字式

数と変数の加算や減算、乗算、除算を組み合わせた数式を文字式という。

正解：D．(x - 3)(x - 4)

掛けて12、足して-7になる数は-3と-4なので (x - 3)(x - 4) となる。

正解：A．1

xの増加量が3、yの増加量が3なので、傾きは3÷3=1である。

正解：B．傾き

xの値が1変化したときのyの増加量を表すaを傾きという。

正解：D．x = 4

10x - 5x = 15 + 5 より 5x = 20、よって x = 4。

正解：B．2a

解の公式の分母は 2a である。

正解：C．上に凸の放物線

a=-1(負の数)なので、上に凸の放物線になる。

正解：A．すべての放物線は必ずx軸と交わる。

判別式が負の数の場合、放物線はx軸と交わらないため、すべての放物線が交わるわけではない。

正解：A．1か所で接する

判別式が0の場合、実数解を1つ持つためx軸と1か所で接する。

正解：C．5a

aの係数を足し合わせて5aと整理できる。

正解：B．加減法

方程式どうしを足し引きして変数を消去する方法を加減法という。

正解：D．平方完成

式を y = a(x - p)^2 + q の形に変形することを平方完成という。

正解：B．判別式の値が正の数

判別式の値が正の数であれば、2次方程式は2つの実数解を持つ。

正解：A．0

x軸と交わる点はy座標が0であるため、y=0を代入する。

正解：D．y = 3x - 2

y = 3x + b に (2, 4) を代入すると 4 = 6 + b となり b=-2。よって y = 3x - 2。

正解：C．解は必ず1つの方程式のみを満たす値になる。

連立方程式の解は、それぞれの方程式を同時に満たす値である。

正解：C．x + y = 25, 5000x + 3000y = 95000

人数の合計から x + y = 25、金額の合計から 5000x + 3000y = 95000 となる。

正解：D．下に凸の放物線

a=1(正の数)なので、下に凸(U字型)の放物線になる。

正解：A．5

傾きはxが1増えたときのyの増加量を表すため、5増える。

正解：B．結合法則

括弧をつける位置によって演算の順序が結果に影響を与えない法則を結合法則という。

正解：D．関数

xの値を1つ決めると、yの値が1つ決まるものを関数という。

正解：B．y = -x^2 - 6x - 2

y = a(x+3)^2 + 7 に (0, -2) を代入。-2 = 9a + 7 より a = -1。展開して y = -x^2 - 6x - 2。

正解：C．x^2y + 3xy^2

同じ文字について係数を足し合わせると、x^2yの係数は3-2=1、xy^2の係数は4-1=3となる。

正解：A．軸

放物線は左右対称であり、その対称軸を軸という。

正解：A．1個

判別式 4^2 - 4×(-1)×(-4) = 16 - 16 = 0 なので、1個(接する)。

正解：C．4

判別式は (-4)^2 - 4×1×3 = 16 - 12 = 4 である。

正解：B．a^m × a^n = a^(mn) が成り立つ。

a^m × a^n は a^(m+n) であり、a^(mn) ではない。

正解：D．x = 2, -2

(x - 2)(x + 2) = 0 と因数分解できるため x = 2, -2。

正解：B．aは0以外の数でなければならない

1次方程式 ax+b=0 において、aは0以外の数でなければならない。

正解：A．x = 10, y = 15

2つ目の式から1つ目の式の3000倍を引くと 2000x = 20000 となり x=10、よって y=15。

正解：D．素因数分解

ある整数を素数の掛け算で表現するように分解することを素因数分解という。

正解：C．(x + 2)(x + 4)

掛けて8、足して6になる数は2と4なので、(x + 2)(x + 4) となる。

正解：C．3x = -6

左辺の+6を右辺に移項すると符号が変わり-6となるため、3x = -6 となる。

正解：D．多項式

5xyと-zの複数の項があるので多項式である。

正解：A．方程式

変数が含まれた等式で、特定の値のときだけ成り立つ式を方程式という。

正解：B．判別式

判別式 b^2 - 4ac の符号によって、x軸との交点の数を判断できる。

正解：D．(a^m)^n = a^(m+n)

指数法則において累乗の計算は指数の掛け算となるため、(a^m)^n = a^(mn) が正しい計算です。

正解：B．a(b+c) = ab+ac のように、括弧内の各項に外側の項を掛けることを、交換法則という。

括弧内の各項に外側の項を掛けることで括弧を外す計算の法則は、交換法則ではなく分配法則です。

正解：C．移項して整理すると、6x = 8 となる。

右辺の2xを左辺に移項すると-2xとなるため、左辺は 4x - 2x = 2x に整理されます。

正解：A．加減法を使う場合、1つ目の式と2つ目の式をそのまま引き算すればxを消去できる。

xの係数は2と3であるため、そのまま引き算してもxを消去することはできず、両辺を何倍かして係数をそろえる必要があります。

正解：A．12という数を 2×2×3 のように分解することを、因数分解という。

ある整数を素数の掛け算で表現するように分解することは、単なる因数分解ではなく素因数分解といいます。

正解：C．解の公式の分子の平方根の中にある b^2 - 4ac を、たすき掛けと呼ぶ。

解の公式における平方根の中にある b^2 - 4ac の部分は、たすき掛けではなく判別式と呼びます。

正解：B．斜めに掛けて足した結果が一致した場合、元の式は (2x+2)(x+3) に因数分解される。

(2x+2)(x+3) を展開すると 2x^2+8x+6 となり元の式に戻りません。正しい因数分解は (x+2)(2x+3) です。

正解：D．aの値が大きいほど直線の傾きは緩やかになり、bの値が小さいほど直線は上にずれる。

aの値が大きいほど直線の傾きは急になり、bの値が大きいほど直線は上にずれます。

正解：B．y = ax^2 + bx + c のグラフにおいて、aが正の数であれば右肩上がりの直線になる。

2次関数のグラフは直線ではなく放物線となり、aが正の数であれば下に凸の放物線になります。

正解：A．平方完成した式から、このグラフの軸は x = -2 であることがわかる。

y = 2(x - 2)^2 - 5 の軸は x = 2 であり、負の符号を取り違えて x = -2 とするのは誤りです。

正解：D．判別式の値が負の数であれば、2次方程式は1つの実数解を持ち、x軸と1カ所で交わる。

判別式の値が負の数の場合、2次方程式は実数解を持たず、放物線はx軸と交わりません。

正解：C．2次関数 y = x^2 - 4x + 3 に y = 0 を代入して因数分解すると (x+1)(x+3) = 0 となり、交点のx座標は -1 と -3 になる。

x^2 - 4x + 3 = 0 を因数分解すると (x-1)(x-3) = 0 となるため、交点のx座標は正の数である 1 と 3 です。

正解：C．ax + b のように、項が1つだけの式を単項式という。

ax + b は ax と b という複数の項で構成されているため多項式です。項が1つだけの式が単項式となります。

正解：D．x = 3, y = 1 を y = 2x + b に代入して切片を計算する。

座標は(x, y)の順に表されるため、点(1, 3)を通る場合は x = 1, y = 3 を代入しなければなりません。

正解：A．左辺を展開して整理すると、x^2 + 3x + 28 = 0 となる。

右辺の28を左辺に移項する際には符号が変わるため、正しくは x^2 + 3x - 28 = 0 となります。

正解：B．(x - 3)^2 = 0 を解くと、x = -3 という解が求められる。

(x - 3)^2 = 0 を満たすxの値は x = 3 であり、x = -3 とするのは符号の取り違えです。

正解：D．頂点の座標から、求める式は y = a(x - 3)^2 + 7 とおくことができる。

頂点のx座標が-3であるため、平方完成の式の形は (x - 3)^2 ではなく、符号を反転させた (x + 3)^2 とおく必要があります。

正解：B．2つ目の式から1つ目の式を引くと、2000x = 25000 と整理できる。

5000x + 3000y = 95000 から 3000x + 3000y = 75000 を引くと、右辺は 95000 - 75000 = 20000 となります。